标准布朗运动
一、导论
知乎上有一个比较有意思的问题“如今要想证券交易做得比较成功，数学功底在其中的作用到底有多大？”提问者提到，虽然诸如西蒙斯一辈也是靠数学玩转市场，近些年国内兴起的一批量化交易机构也多对数学背景的Candidates有所偏好。然而市场上并不乏数学功底并不深厚的成功投资者。尤其是当市面上使用较为广泛的数据库、交易平台等已经集合了大量成熟便捷的数学工具，投资者可以在对公式推演过程一无所知的情况下对相应的工具进行灵活的调用。譬如delta、gamma、theta、vega、rho等常见的期权风险指标，投资者仅需要理解这些指标的意义便能进行相应的交易操作。尤其是以Bloomberg和Wind为代表的金融数据提供商，将复杂的金融数据和运算方式转换成了可视化的操作，这也使得很多数学功底并不深厚的人得以利用大数据进行投资。那么从某种程度来说，是否数学功底本身在金融投资领域并无太大意义？
受限于从业年限，我在这里暂不对这一类问题进行正面回答。但是该问题引发的相关思考主要有两点：
1. 金融本身是一个很大的概念。从宏观来说可以理解为资金的融通与再分配，从微观甚至个体行为的角度，金融无非是投资者为了预期回报所进行的低买高卖（理想情况下）的行为。不论是看基本面、看宏观、做高频、做量化，都仅仅只是投资者的一种工具，一套投资逻辑。方法的选择取决于很多因素，包括投资者及投资标的所处的市场、投资人的资金规模等等。而数学模型本身是对不同变量进行一种拟合，因此模型背后的假设条件与市场本身的契合度也是该投资理论是否能work的关键。（当然我相信，理想情况下任何的assumption都能通过更深层次的分类讨论及细化进行突破。）赚钱的方法千千万，不管黑猫白猫，能让人抱的猫就是好猫。
2. 工具是静态的，而逻辑则是一种能够随场景进行调整变化的工具组合。数学本身是一种逻辑，是一种思维方式。你可以掌握了这样一套方法论，然后在投资实践中对自己的认知进行检验补充，使它成为你感知的一部分，也可以经历过市场毒打后再去通过实践形成具有个人特色的投资信仰。以Black-Scholes 期权定价公式为例（又称 Black-Scholes-Merton 公式，下称 BS 公式），从实践的角度出发，BS在投资过程中能发挥到的作用仁者见仁。但透过现象看本质，BS是由随机微积分（stochasictic calculus）经过层层演算得到的产物，它背后蕴含着强大的数学体系，可以运用随机过程对股价、期权价格以及其他衍生品价格进行量化建模。
作为专业科目，金融数学往往以“金融工程”、“量化金融”等名词出现。不同的院校可能将这一专业以研究生项目的形式设置在不同的院系下，常见的有金融系、计算机院及数学系。不同教学特色下的毕业生往往专业侧重点也各不相同，据说卡梅的金工专业毕业生人人都能码得一手好代码。
我所在的金工项目导师是纯粹的学院派数学背景出身，因此我个人的认知可能更偏理论派。本文是基于我个人的主观经历对该领域进行的较为浅显的探讨。并且考虑到受众的可读性，我尽可能省去不必要的数学推导过程，力求以通俗易懂地方式对该领域进行探讨。如有不专业的地方或由于个人理解偏差而造成错误陈述，欢迎在文末留言指正。
金融数学是个很大的概念，上图是我研究生阶段某个方向的课程体系框架，可供各位对金工/金数感兴趣的同仁进行参考。（其实这个世界还是很美好的，何必想不开:)
对BS的认知水平高于“略有所闻”的人想必也都会对诸如“布朗运动”、“伊藤引理”、“随机微分方程”这些概念有所涉猎。BS作为衍生品定价领域内比较经典的模型理论也经历了数年的演变补充，形成了一套比较完整的体系，在随机分析的大框架下环环相扣，完美地联系在一起，构成了金融数学这一领域的内核。
本系列文章仅围绕BS模型成立条件及相关性较强的几个入门级理论进行初步探讨。接下来进入正题，大家准备好头发。
二、从布朗运动到BS模型
简单的说，（标准）布朗运动是一种最简单的连续随机过程，它是描述证券价格随机性的基本模型。而对于期权或其他衍生品这些金融工具，它们的价格是相关证券资产价格的函数。因此可以说证券价格是一个随机过程，而衍生品价格是该随机过程的函数。伊藤引理提供了对随机过程的函数做微分的框架；这对于衍生品的定价意义非凡（在此之前，人们是不知道如何对随机过程的函数做微分的）。通过伊藤引理，可以写出金融衍生品价格的随机微分方程，通过对其求解便可以得到衍生品价格的模型。BS 公式就是一个最简单的例子。
三、关于布朗运动（Brownian Motion）
3.1 背景
1827年，英国植物学家罗伯特?布朗（Robert Brown）使用显微镜观察水中的花粉微粒时发现了微粒的无规则运动，这一发现过被爱因斯坦解释为微粒的无规则运动是由水分子撞击形成的。1900年，路易·巴舍利耶(Louis Bachelier，量化金融的创始人)在其博士论文中首次将布朗运动运用于股票和期权价格的分析。1918年，诺伯特·维纳（Norbert Wiener）第一次对布朗运动进行严谨的数学阐述，因此布朗运动有时也被称为维纳过程（Wiener Process）。
3.2 定义
为了让大家有个明确的概念，我先将公式列出来以供记(装)忆(X)：
布朗运动可以被定义为是一种连续的随机过程，是定义在时域或空间域上一次发生的独立的正态分布的变量集合。一般运用于股票价格拟合的属于（一维）标准布朗运动（即维纳过程）。
3.3 随机走动（Random Walk）
3.3.1 对称随机走动（Symmetric Random Walk）
为了方便理解，我们可以从对称随机走动来创造一个简单的布朗运动。Emmmm是不是有点懵了…我举一个简单的栗子吧。
扔硬币会吧，我们姑且可以将扔硬币这一过程看作是一种堆成随机走动。
假设p为正面（数字朝上）的概率（我们用H表示），那么q则为反面（花面朝上）的概率（我们用T表示）。我们可以得到q=1-p，且p=q=。正面得1分，反面输1分。
我们重复扔5次硬币，并将每一次成功（取决于对结果的预期）的概率计为wi，我们可以得到w =w1w2w3w4w5。（相应的，重复n次的结果为w(n) =w1w2…wn）；
计每一次扔出的结果为Xj，那么：
计整个扔硬币的过程结果为（k=0,1,2,3…）,那么：
且每一次扔硬币的过程都是独立的：
我们得到每一次扔硬币的增量为：
且波动为：
那么我们扔5次硬币的概率分布则为：
结果可能就是这样：
如果我们丢n次骰子，结果可能就是这样的：
假如一位股票投资者只需要判断一天的股价涨还是跌，对于ta来讲ta需要考虑的问题其实和丢骰子一样一样的。是不是有点股价内味了～如果你觉得上面这一堆公式不是很友好，下次在想跟别人装X描述对称随机走动过程时只需要把这张图画出来就好:)
3.3.2 标度随机走动（Scaled Systemmetric Random Walk）
然而股价并不是以天为单位变动，而是每时每刻都在变动。因此，我们假设整个过程股价变动n次，我们便得到了标度随机走动（Scaled Systemmetric Random Walk）:
过程则变成了：
是不是有点抽象？我再举个栗子吧：
当我们丢10次硬币：
当我们丢100次硬币：
当我们丢500次硬币：
当我们丢1000次硬币：
3.4 布朗运动（Brownian Motion）
上面我们我们用扔硬币举例，因为硬币结果的属性符合离散的属性。
当n趋近于无穷大时，时间节点t的W(t) 则无限接近以0为平均数t为方差的正态分布。（我们称之为无限中心定理（Central Limit））。而布朗运动与标度随机走动的核心区别可以粗略概括为连续变量。
3.4.1 定义
一般来说，如果一个定义为非负实数（时间）t 上的连续随机过程 {B(t),t>=0}满足：
那么我们可以称B(t)是一个标准的布朗运动。
3.4.1 二次变分（Quadratic Variation）
我们都知道对于对于连续函数区间[a,b]中的任意一点c求导，我们可以得到：
为了便于理解，我在这里先将时间区间[0,T]内的一次变分（First-Order Variation）与二次变分进行对比：
一次变分：
二次变分：
这个结果可以理解为，随着对时间[0,T]越来越细的划分，这个连续且处处可微的函数f(x)的二次变分为0。现在我们将f(x)换成布朗运动B(x)。
3.4.2 布朗运动的性质
布朗运动之所以被广泛地运用于价格波动（尤其是股价）也是因为其部分特质对于价格走势十分契合：
1. 它的它的轨迹会频繁的穿越时间轴（在时间轴上下往复波动）；
2. 在任意时刻t，它的位置B(x)不会偏离正负一个标准差太远;（这两个性质可以理解为，股价大概率会在开盘价上下波动，并频繁穿越开盘价；且随着时间的推移，t时刻的股价也不会偏离“开盘价价格波动标差”太远；
3. 令 M(t) 为 0 到 t 时刻内的布朗运动 B(t) 所能到达的最大值，即，则“M(t)不小于任意给定阈值a的概率”等于“B(t)不小于任意给定阈值的概率两倍”，即 ；（如果用布朗运动来描述股价，那么这一特质可以量化股价极值的概率分布）；
4. 布朗运动虽然连续，但是它处处不可微分（这是非常关键的一个性质）。
现在我们再将二分法运用于布朗运动，我们得到如下结论：
随着时间区间[0,T]越来越细的划分，B(t)的二次变分等于T，即
其中
我们可以对比之前讨论过的一般连续函数的二次变分是0，而这里布朗运动的二次变分则是T。
我们可以这样理解，对于任何一个普通的连续可微函数，随着对时间区间的切分，它的二次变分逐渐趋紧于0。而对于布朗运动，其非零的二次变分说明随机性使得它的波动过于频繁，以至于不论我们如何切割时间区间都无法消除这些微小区间上的位移差（即），且位移平方差的总和恰好等于T。
3.4.3 布朗运动的反射性(Reflection Principle)
如图，我们先设定一个m值水平（股价），然后观察曲线通过m线的路径。我们会发现，首先时间t点时曲线是在水平上且低于m的。此外，在t时间范围内，每当曲线穿越m，都会有对应的反射路径，且反射路径是在的2m-w范围内的。据此我们可以得到一个区间：
3.4.4 几何布朗运动（Geometric Brownian Motion）
最后我们结合伊藤引理对股价连续时间情况下的随机过程进行具化。这里我们省去绝大部分的数学推导过程，仅保留几个比较核心的特征：
概括性的说，我们之所以花了大量的篇幅描述布朗运动，是因为其特性被认为能够很好的拟合股价走势，且后面即将要讲到到BS模型中股票价格也被定性为服从布朗运动。布朗运动的连续不可微和股市中上蹿下跳的股价是一致的。根据布朗运动的反射性，我们很容易得出股价在一定时间内能够到达的极值分布区间。而几何布朗运动则可以对股价进行更为精准的建模。股价的布朗运动特征与市场中很多投资者所坚持的“价值投资，忽略短期价格波动”也是一致的。
缺陷是，在真实的市场中，收益往往并不完全符合正态分布（呈高峰且厚尾分布），且股价波动是随时间变化的。而几何布朗运动中波动往往是固定值。如果读者感兴趣，可以在文章前述的金融数学学科框架下进行进一步的研究。可以确定的是类似的问题是能够找到解决方法的，本文作为科普性的概述在这里就不做过多的阐述了。
四、Black-Scholes模型的背景与假设条件
4.1 背景
BS模型最初被用于欧式期权定价。在BS开发出来之前，由于没有一致且有效的数学工具对期权进行价值发现与预测，期权交易员只能凭主观感知进行交易。而BS模型则使得期权交易本身多了一些科学性而少了一份赌的成分。同时，多种对冲策略也是基于BS模型对标资产的风险进行把控。广泛认为，BS模型是第一个广泛运用于期权定价的模型，为后来期权交易市场的迅猛发展提供了理论基础。
简而言之，BS模型假设标的资产的波动性呈对数正态分布(log-normal distribution)，通过计算投资者的预期回报减去投资者所需要付出的代价之间的差值对期权进行定价。BS模型由Fischer Black和Myron Scholes推导偏微分方程（PDE, Partial Differential Equation）提出，后来被称为Black-Scholes Equation。后期Robert Merton运用随机微积分对Black-Scholes Equation进行解释，便形成了完整的Black Scholes Model。后来Myron Scholes和Robert Merton共同获得了1997年的诺贝尔经济学奖，Ficher Black由于已过世无法颁奖而被列为贡献者。So sad 🙁
4.2 BS模型
这里我先把BS 公式搬出来，大家可以有个大概的概念：
其中：
St : t 时间节点的标的物价格
C(St, t)：t时间节点标的物为的看涨期权价格
K：行权价格
(T-t):到期时间
N(d1)及N(d2)：d1、d2的累计分布函数（假设d1、d2服从正态分布）
σ：标的物波动率
r：无风险利率
（注：BS 模型是一个偏微分方程，而 BS 公式是一个解析形式的表达式；BTW看到这就可以退出了…装X够用了…）
4.3 BS模型的假设条件
任何数学模型/公式的使用需要弄清楚的并不仅是通过该模型/公式能够求得什么，而是在已知部分条件的情况下在任意使用场景该模型/公式能否成立。换句话说，我们需要了解模型成立的假设条件。
关于BS模型的分析，这里我们先假设：
关于市场：
1. 标的物的价格呈对数正态分布(log-normal distribution)；
2. 市场不存在交易摩擦（frictionless），即不存在税、交易成本等；
3. 市场无做空限制，可以任意数量地做多或做空资产，且可以无限切割资产；
4. 市场是有效的（efficient），即投资者均是理性的（rationality）,市场事件均是互相独立的（independence of events）,市场允许套利（arbitrage）
关于标的物：
1. 标的物的波动性（volatility）已知且为常数；
2. 标的物不产生任何现金流，即股票无分红，且服从参数为常数的几何布朗运动（GBM, Geometric Brownian Motion），即服从随机微分方程（SDE, Stochastic Differential Equation）
3. （连续）无风险利率（risk-free rate）已知且为常数;债券收益为连续复利：
当然，我们也可以考虑利率和波动率非常数的情况（比如将波动率考虑为时间和股价的函数服从local volatility model 或stochastic volatility model(SDE)，或考虑期权为美式期权，标的为分红的股票或期货合同），但由于整体思路相通，这里我们就不做过多的赘述。
五、写在最后
看到这里，你可能会产生一个疑问，这篇文章..是不是…没写完？
但是事实是…
没错！你的感觉没错！我就是没写完！
毕竟BS的体系辣么庞大，大家感受下…
由于时间关系，本文先就价格的随机过程进行阐述，并就BS模型的历史背景与成立假设进行初步的探讨。后续会继续对伊藤引力及BS模型的推演过程及实际应用进行更深一步的讨论，欢迎继续关注:)
写到最后我想说，读书人总是带有一种莫名的酸臭味，这从某种意义上也是一种无知。但在这瞬息万变的资本市场，如若不论利弊得失都只是模型的输入和产出，有一些信仰好歹不至于让人中乐透后得失心疯。
作者 | Zoey
