三角函数公式
边听边看-圆周率 来自每天完善 00:00 08:42
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很多人都很讨厌三角函数，
真的，我觉得不能怪他们，
要怪就怪这该死的三角函数吧！
[ 高中三角函数公式有多少？其实在写这篇文章之前，我也不知道具体数量，但是我写完后，也开始为学生打抱不平了！ ]
我们先来看看任意角三角函数
任意角的三角函数 在角α的终边上任取一点P，记作：p(x,y)，x2+y2=r2 正弦： sinα=y/r 余弦： cosα=x/r 正切： tan=y/x 余切： cot=x/y 正割： secα=r/x 余割： cscα=r/y不会的同学自行看书。
再来看看同角三角函数的基本关系
| 同角三角函数的基本关系 | |
| 倒数关系： | sinαcscα=1 |
| cosαsecα=1 | |
| tanαcotα=1 | |
| 商数关系： | tanα=sinα/cosα |
| cotα=cosα/sinα | |
| 平方关系： | sin2α+cos2α=1 |
| 1+tan2α=sec2α | |
| 1+cot2α=csc2α |
这些关系可以简单的用任意角三角函数推导出来，
举个例子，sinαcscα=1，
我们可以看成是：y/r×r/y=1。
继续，诱导公式
诱导公式 α+2kπ（k∈z） 我们永远视α为第一象限角，遇到π/2的偶数倍时，函数名不变，符号看象限 α+(2k+1)π/2（k∈z） 我们永远视α为第一象限角，遇到π/2的奇数倍时，函数名不变，符号看象限可能让大家失望了，对，我没有写任何诱导公式，如果让你去背诱导公式，背一辈子也背不完，所以，看看这个方法。
其实比较好理解，我们看着坐标系中的圆，我们在角的终边上任取一点P，从P点做垂线段PM，形成一个△OPM，
将线段OP绕着原点O逆时针旋转90°角的倍数时，形成线段OQ，从Q点向x轴做垂线段QN，形成一个△OQN，
△OPM≌△OQN，
然后我们利用全等三角形的知识，就可以得到诱导公式的任意公式。
继续，两角和与差公式
两角和与差 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)是不是看着有点头疼？童老师也头疼。
continue…二倍角公式
| 二倍角公式 | |
| 正弦 | sin2α=2sinαcosα |
| 余弦 | cos2α=cos2α-sin2α |
| cos2α=2cos2α-1 | |
| cos2α=1-2sin2α | |
| 余切 | tan2α=2tanα/(1-tan2α) |
老规矩，看看怎么推导的，
正弦：
sin2α=sin(α+α) =sinαcosα+cosαsinα =2sinαcosα余弦：
| cos2α=cos(α+α) |
| =cosαcosα-sinαsinα |
| =cos2α-sin2α |
| =2cos2α-1 |
| =1-2sin2α |
正切：
| tan2α=tan(α+α) |
| =(tanα+tanα)/(1-tanαtanα) |
| =2tanα/(1-tan2α) |
其实很简单，就是利用两角和与差的公式来推导。
continue…半角公式
半角公式 正弦 sin2α=(1-cos2α)/2 余弦 cos2α=(1+cos2α)/2 正切 tan2α=(1-cos2α)/(1+cos2α) tanα=sin2α/(1+cos2α) tanα=(1-cos2α)/sin2α推导：
正弦：
| 由cos2α=1-2sin2α， |
| 得：cosα=1-2sin2(α/2) |
| 所以sin2(α/2) =（1-cosα）/2 |
余弦：
| 由cos2α=2cos2α-1， |
| 得：cosα=2cos2(α/2)-1 |
| 所以cos2(α/2)=(1+cosα)/2 |
| tan2(α/2) =(sin2α/2)/ cos2(α/2) |
| =(1-cosα)/(1+cosα) |
| tan(α/2)=2sin(α/2)/cos(α/2) |
| =1-(1-sin2α/2)/[2sin(α/2)cos(α/2)] |
| =1-cosα/sinα |
其实就是由二倍角公式推导而来。
continue…万能公式
万能公式 正弦 sin2α=2tan/(1+tan2α) 余弦 cos2α=(1-tan2α)/(1+tan2α) 正切 tan2α=2tan/(1-tan2α)推导：
正弦：
| sin2α=2sinαcosα= |
| 2sinαcosα/(sin2α+cos2α) |
| 两边同时除以cos2α， |
| 得：2tanα/(1+tan2α) |
余弦：
| cos2α=cos2α-sin2α= |
| (cos2α-sin2α)/(cos2α+sin2α) |
| 两边同时除以cos2α， |
| 得：(1-tan2α)/(1+tan2α) |
正切：
| tan2α=sin2α/cos2α =2tanα/(1-tan2α) |
不难看出，万能公式由二倍角公式和基本公式：sin2α+cos2α=1推导而来。
continue…和差化积公式
和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2sin[(α-β)/2]cos[(α+β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ) cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)童老师继续给大家推导：
正弦和余弦（我只拿正弦和化积来举例）：
| ∵ sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, |
| sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, |
| ∴ 将以上两式的左右两边分别相加,得 |
| sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β, |
| 设 α+β=θ,α-β=φ |
| 那么 |
| α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2 |
| 把α,β的值代入,即得 |
| sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] |
正切和余切（我只拿正切的和化积来举例）：
| tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ |
| =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) |
| =sin(α±β)/(cosα·cosβ) |
这会大家如果脑力还够用，你就继续往下看，要是不够用就别看了，毕竟这么多公式大部分高考也不考。但是童老师还是鼓励大家继续看下去！
continue…积化和差公式
| 积化和差公式 |
| sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] |
| cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)] |
| cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] |
| sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] |
推导：
我拿第一个式子举例：
| sinαcosβ |
| =1/2[(sinαcosβ + cosαsinβ) + |
| (sinαcosβ – cosαsinβ)] |
| =1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] |
这个很简单，就是拿两角和与差公式逆向推导。
continue…辅助角公式
辅助角公式 asinx+bcosx=√(a2+b2)sin(x+φ) cosφ=a/√(a2+b2)tanφ=b/a
推导：
asinx+bcosx =√(a2+b2)[sinx（a/√(a2+b2)+ cosx (b/√(a2+b2)] =√(a2+b2)sin(x+φ)这个公式在实际运用中是要用到反三角函数的，但是考试出题往往都是给一个特殊角。
continue…正弦定理
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R推导：
在锐角△ABC中, 设BC=a，AC=b，AB=c，作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得：a/sinA=b/sinB 同理,在△ABC中 b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O 作直径BD交⊙O于D，连接DA ∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角 ∴∠DAB=90° ∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等 ∴∠D等于∠ACB ∴c/sinC=c/sinD=BD=2R
只要你初中的圆学的好，这个定理证明还是很舒服的。
continue…余弦定理
余弦定理 a2=b2+c2-2bc·cosA b2=a2+c2-2ac·cosB c2=a2+b2-2ab·cosC| 在任意△ABC中，做AD⊥BC |
| ∠C所对的边为c |
| ∠B所对的边为 b |
| ∠A所对的边为a |
| 有BD=c·cosB，AD=c·sinB |
| DC=BC-BD=a-c·cosB |
| 根据勾股定理可得： |
| AC2=AD2+DC2 |
| b2=(c·sinB)2+(a-c·cosB)2 |
| b2=c2sin2B+a2+c2·cos2B-2ac·cosB |
| b2=(sin2B+cos2B)·c2-2ac·cosB+a2 |
| b2=c2+a2-2ac·cosB |
| cosB=(c2+a2-b2)/2ac |
余弦定理证明稍微麻烦点，但是我感觉用初中所学的知识就可以证明了。
continue…三角形面积公式
三角形的面积公式 S△ABC=1/2×底×高 S△ABC=1/2·ab·sinC S△ABC=1/2·bc·sinA S△ABC=1/2·ac·sinB S△ABC=abc/4R（R为△ABC外接圆半径） S△ABC=(a+b+c)r/2（r为△内切圆半径） S△ABC=√p(p-a)(p-b)(p-c) (p=(a+b+c)/2)推导（童老师只给大家推导两边夹一角的公式）：
| S△ABC=1/2×AB×CD |
| =1/2×AB×(AC×sinα) |
这个公式是高中常用公式，很简单吧。
以上内容肯定超过了高考范围，其实我写的这些也只是三角函数公式的一小部分，但是里面的一部分都是高考要考的。
所以同学们认为三角函数难这个观点，我是坚定的站在你们这一边的，你们要牢牢记住这个该死的家伙-韦达（嗯，对，就是韦达定理的那个韦达），他基本上开发出了现代三角函数的框架。
写了这么多，中间过程太曲折了，
因为两次断网没有保存，我分别从一半的位置和三分之二的位置重写了一遍，
而且所有平方符号，都不知为什么在复制粘贴到公众号里以后全部失效，所以又校正了一遍，
写这边文章足足花了我9个小时，简直要命，有杀人的冲动。
希望对大家有用！
最后说一下，里面的数学符号全部是由童老师手工录入，所以，心血不易，您在摘录的时候请勿随意改动。
–2017.8.29 03:10
[ 我不仅仅是数学老师
我会什么就讲什么
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干嘛要吝啬您的分享呢 ]
