三角函数公式(高中三角函数公式大全(可不仅仅是简单的公式汇总,绝对有料!))

三角函数公式

边听边看-圆周率 来自每天完善 00:00 08:42
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很多人都很讨厌三角函数,
真的,我觉得不能怪他们,
要怪就怪这该死的三角函数吧!

[ 高中三角函数公式有多少?其实在写这篇文章之前,我也不知道具体数量,但是我写完后,也开始为学生打抱不平了! ]

我们先来看看任意角三角函数

任意角的三角函数 在角α的终边上任取一点P,记作:p(x,y),x2+y2=r2 正弦: sinα=y/r 余弦: cosα=x/r 正切: tan=y/x 余切: cot=x/y 正割: secα=r/x 余割: cscα=r/y

不会的同学自行看书。

再来看看同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系
倒数关系: sinαcscα=1
cosαsecα=1
tanαcotα=1
商数关系: tanα=sinα/cosα
cotα=cosα/sinα
平方关系: sin2α+cos2α=1
1+tan2α=sec2α
1+cot2α=csc2α

这些关系可以简单的用任意角三角函数推导出来,

举个例子,sinαcscα=1,
我们可以看成是:y/r×r/y=1。

继续,诱导公式

诱导公式 α+2kπ(k∈z) 我们永远视α为第一象限角,遇到π/2的偶数倍时,函数名不变,符号看象限 α+(2k+1)π/2(k∈z) 我们永远视α为第一象限角,遇到π/2的奇数倍时,函数名不变,符号看象限

可能让大家失望了,对,我没有写任何诱导公式,如果让你去背诱导公式,背一辈子也背不完,所以,看看这个方法。

其实比较好理解,我们看着坐标系中的圆,我们在角的终边上任取一点P,从P点做垂线段PM,形成一个△OPM,

将线段OP绕着原点O逆时针旋转90°角的倍数时,形成线段OQ,从Q点向x轴做垂线段QN,形成一个△OQN,

△OPM≌△OQN,

然后我们利用全等三角形的知识,就可以得到诱导公式的任意公式。

继续,两角和与差公式

两角和与差 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

是不是看着有点头疼?童老师也头疼。

continue…二倍角公式

二倍角公式
正弦 sin2α=2sinαcosα
余弦 cos2α=cos2α-sin2α
cos2α=2cos2α-1
cos2α=1-2sin2α
余切 tan2α=2tanα/(1-tan2α)

老规矩,看看怎么推导的,

正弦:

  sin2α=sin(α+α)     =sinαcosα+cosαsinα     =2sinαcosα 

余弦:
   

  cos2α=cos(α+α)
    =cosαcosα-sinαsinα
    =cos2α-sin2α
    =2cos2α-1
    =1-2sin2α 

正切:

  tan2α=tan(α+α)
    =(tanα+tanα)/(1-tanαtanα)
    =2tanα/(1-tan2α)

其实很简单,就是利用两角和与差的公式来推导。

continue…半角公式

半角公式 正弦 sin2α=(1-cos2α)/2 余弦 cos2α=(1+cos2α)/2 正切 tan2α=(1-cos2α)/(1+cos2α) tanα=sin2α/(1+cos2α) tanα=(1-cos2α)/sin2α

推导:

正弦:
   

  由cos2α=1-2sin2α,
    得:cosα=1-2sin2(α/2)
    所以sin2(α/2) =(1-cosα)/2

余弦:

  由cos2α=2cos2α-1,
    得:cosα=2cos2(α/2)-1
    所以cos2(α/2)=(1+cosα)/2

 

   

  tan2(α/2) =(sin2α/2)/ cos2(α/2)
    =(1-cosα)/(1+cosα)
  tan(α/2)=2sin(α/2)/cos(α/2)
    =1-(1-sin2α/2)/[2sin(α/2)cos(α/2)]
    =1-cosα/sinα

其实就是由二倍角公式推导而来。

continue…万能公式

万能公式 正弦 sin2α=2tan/(1+tan2α) 余弦 cos2α=(1-tan2α)/(1+tan2α) 正切 tan2α=2tan/(1-tan2α)

推导:

正弦:

  sin2α=2sinαcosα=
    2sinαcosα/(sin2α+cos2α)
    两边同时除以cos2α,
    得:2tanα/(1+tan2α)

余弦:

  cos2α=cos2α-sin2α=
    (cos2α-sin2α)/(cos2α+sin2α)
    两边同时除以cos2α,
    得:(1-tan2α)/(1+tan2α)

正切:
   

  tan2α=sin2α/cos2α
    =2tanα/(1-tan2α)

不难看出,万能公式由二倍角公式和基本公式:sin2α+cos2α=1推导而来。

continue…和差化积公式

和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2sin[(α-β)/2]cos[(α+β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ) cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

童老师继续给大家推导:

正弦和余弦(我只拿正弦和化积来举例):

∵  sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
     sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
∴  将以上两式的左右两边分别相加,得
     sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
  设 α+β=θ,α-β=φ
  那么
     α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
  把α,β的值代入,即得
     sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

正切和余切(我只拿正切的和化积来举例):
 

  tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
    =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
    =sin(α±β)/(cosα·cosβ)

这会大家如果脑力还够用,你就继续往下看,要是不够用就别看了,毕竟这么多公式大部分高考也不考。但是童老师还是鼓励大家继续看下去!

continue…积化和差公式

积化和差公式
sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] 
cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] 
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

推导:

我拿第一个式子举例:

  sinαcosβ
    =1/2[(sinαcosβ + cosαsinβ) + 
    (sinαcosβ – cosαsinβ)]
    =1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

这个很简单,就是拿两角和与差公式逆向推导。

continue…辅助角公式

辅助角公式 asinx+bcosx=√(a2+b2)sin(x+φ) cosφ=a/√(a2+b2)
tanφ=b/a

推导:

asinx+bcosx =√(a2+b2)[sinx(a/√(a2+b2)+ cosx (b/√(a2+b2)] =√(a2+b2)sin(x+φ)

这个公式在实际运用中是要用到反三角函数的,但是考试出题往往都是给一个特殊角。

continue…正弦定理

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

推导:

在锐角△ABC中, 设BC=a,AC=b,AB=c,
作CH⊥AB垂足为点H    CH=a·sinB    CH=b·sinA    ∴a·sinB=b·sinA    得:a/sinA=b/sinB    同理,在△ABC中   b/sinB=c/sinC    步骤2.    证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O  作直径BD交⊙O于D,连接DA  ∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角 ∴∠DAB=90°   ∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等 ∴∠D等于∠ACB  ∴c/sinC=c/sinD=BD=2R   

只要你初中的圆学的好,这个定理证明还是很舒服的。

continue…余弦定理

余弦定理 a2=b2+c2-2bc·cosA b2=a2+c2-2ac·cosB c2=a2+b2-2ab·cosC
在任意△ABC中,做AD⊥BC
∠C所对的边为c
∠B所对的边为
b
∠A所对的边为a
有BD=c·cosB,AD=c·sinB
DC=BC-BD=a-c·cosB
根据勾股定理可得:
AC2=AD2+DC2
b2=(c·sinB)2+(a-c·cosB)2
b2=c2sin2B+a2+c2·cos2B-2ac·cosB
b2=(sin2B+cos2B)·c2-2ac·cosB+a2
b2=c2+a2-2ac·cosB
cosB=(c2+a2-b2)/2ac

余弦定理证明稍微麻烦点,但是我感觉用初中所学的知识就可以证明了。

continue…三角形面积公式

三角形的面积公式 S△ABC=1/2×底×高 S△ABC=1/2·ab·sinC S△ABC=1/2·bc·sinA S△ABC=1/2·ac·sinB S△ABC=abc/4R(R为△ABC外接圆半径) S△ABC=(a+b+c)r/2(r为△内切圆半径) S△ABC=√p(p-a)(p-b)(p-c) (p=(a+b+c)/2)

推导(童老师只给大家推导两边夹一角的公式):

 

  S△ABC=1/2×AB×CD
    =1/2×AB×(AC×sinα)

这个公式是高中常用公式,很简单吧。

以上内容肯定超过了高考范围,其实我写的这些也只是三角函数公式的一小部分,但是里面的一部分都是高考要考的。

所以同学们认为三角函数难这个观点,我是坚定的站在你们这一边的,你们要牢牢记住这个该死的家伙-韦达(嗯,对,就是韦达定理的那个韦达),他基本上开发出了现代三角函数的框架。

写了这么多,中间过程太曲折了,

因为两次断网没有保存,我分别从一半的位置和三分之二的位置重写了一遍,

而且所有平方符号,都不知为什么在复制粘贴到公众号里以后全部失效,所以又校正了一遍,

写这边文章足足花了我9个小时,简直要命,有杀人的冲动。

希望对大家有用!

最后说一下,里面的数学符号全部是由童老师手工录入,所以,心血不易,您在摘录的时候请勿随意改动。                                                 
–2017.8.29    03:10

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