数学小天才
时隔将近一年，终于来更新一下这个系列，就记录孩子五岁四个月到五岁九个月这几个月来的学习成果。本想直接写个下篇就好，后来想想，万一他还有什么新的进步呢？就当留个悬念也好，也许半年后再来更新个下篇，又会新的收获了呢。
附一下上篇的链接吧：“数学小天才”的发现和启蒙之路（上）
质数
珩珩对数字一直很感兴趣，某天看数学视频得知质数是只能被1和自身整除的数后，他就开始踏上寻找质数之旅了。
找90以内的质数（无意中翻到的草稿纸）
为了能判断一个数是否为质数，他开始去学习各种整除判别法，很快就掌握了判断2、3、5、7、9、11等的方法。那段时间他会故意考我，随意出一个多位数问我它能否被诸如9、11这样的数整除，我以为是用最原始的竖式除法，儿子却告诉我，这个用奇偶位差法，这个用截断求和法。。。
某天带儿子到外面吃饭，等上菜的空余时间他看李永乐老师讲关于哥德巴赫猜想的视频，看得津津有味。当看到李老师说大于2的偶数都可以表示成两个素数之和（传说中的1+1=2），他就开始坐不住了，赶紧拿起自己的液晶小黑板，说要验算一下看。从4开始，把偶数表达成两个素数之和，一口气写到100，如果不是因为吃完东西要走了，估计他可以写到天荒地老？
质因数分解
在研究过质数以后，学质因数分解显然就容易多了。
求两个数的最小公倍数
某天看到他在写这个，但是我没看懂上面的36=4*3*3是怎么来的，跟下面的式子有什么关系，问了他，他说这是求偶因数的个数，然而我还是没明白怎么一回事
晚上趁他睡着了，我到网上去查阅，研究了好一阵子，终于才明白了这个偶因数怎么回事，这里得放一张图，来说明一下偶因数个数是怎么求。
其实我是想说这孩子理解能力也太好了吧？！他毕竟是个孩子！！！
分数与小数
四岁多的时候他学过分数，简单的同分母加减没有问题，但是那时候小数似乎还没有概念，如今要开始把两者联系起来学了。
自己去通过画图理解小数和分数
跟着孩子我有种重拾以前数学课本的感觉，而且感觉自己还学到很多以前没有学过的知识。比如小数0.1化成分数这个很多人都会，但如果是0.1的循环呢？在这之前我没想到原来循环小数也能转化为分数，看来实在是我的数学水平太低了。
循环小数化为分数
貌似是分母为7的分数如何转化为小数？
还有一些关于比较分数大小的题，换个数字，没想到他知道要换一种思路去解，很好~
等差数列与等比数列
其实在珩珩四岁四个月左右，他就做过简单的等差数列1+2+3+4+5+6，那时候他知道1+6=7、2+5=7、3+4=7，利用首尾相加法能快速计算出结果。有了这个基础，就可以开始去推导等差数列求和公式了。
先从有限的项数开始，因为这时候是可以比较容易发现项数是怎么得来的。
然后开始增加项数，检验推导成果。
此时开始可以推导出求和公式了
来个分数形式的？要找对思路更重要
求通项式
学习求和符号表达等差数列求和
等差数列还是相对比较容易的，那么等比数列呢？让我意外的是他居然也自己学会了，解题过程还有模有样的。
学会用裂项的方法去做更复杂的数列求和，孩子做得很好的一点是用了数形结合的方法，把里面的通项式分别用几何图形来代表。
研究帕斯卡三角，又名杨辉三角
有一天他突然在研究平方和，发现了二阶等差数列，但是还是没有办法把平方和给算出来，向我求救。很遗憾，我的高中数学早就还给老师了。。。赶紧去查了相关的资料，有人提醒我，不要轻易告诉孩子答案，让他去探索，不断试错也好，大人在旁边引导即可，但是不要直接给出公式来，要培养他学会思考的习惯。
尝试用递归思想去推导平方和公式，但没找到头绪
为了推导平方和公式，他开始每天去研究这些平方数之间到底有什么规律可循。很棒的是，还真的被他找到了一些有趣的规律。
发现一个数的平方可以表示成某些奇数之和
这个很接近平方差公式了
研究平方和的几何意义
其实经历了蛮漫长的时间。。。后来某天终于会做平方和了。
平方和
有一天我发现他还做了立方和，一开始我认为他肯定是算错了，怎么可能那么巧？又发挥我求学的精神去查阅资料，请教一些数学人士，才发现他的式子是对的。
立方和
排列与组合
排列组合其实是高中的数学知识，对于毕业多年的我来说，难度可不低，毕竟我连公式都不太记得了，但不得不重新去跟孩子一块学习。
因为他喜欢数字，一开始当然是万能的枚举法，逐渐插入排列组合的符号。
难点是要区分到底是排列还是组合？这时候光靠上面数字的题目显然是不够的，得引入一些实际生活中的例子。
关于排列的题目
关于组合的题目
当然，排列组合是一个很难的知识点，他目前也就是掌握了一些很简单的东西而已，后面的路还很漫长呢。
坐标系与函数图象
珩珩喜欢玩数独，某天他完成一个九宫格数独后突然问我，妈妈，为什么这里写着1-9，这里写着A-I？这些有什么用呢？
我想了一下，这不就是初中学的坐标系吗？于是我尝试去跟他讲坐标系，在我看来还是挺难挺抽象的知识，加上那时候他才五岁四个月，听不懂我觉得很正常，出乎我意料的是，他居然听懂了。
先打印一个网格坐标系给他玩玩
没有网格了，自己去把坐标系中的某点找出来
学了二元一次方程后，尝试把方程用函数图象的形式表达出来。虽然坐标系的位置还不够准确，但在我看来，这是孩子探索的一个过程，只要他理解即可。
画出y=2x的函数图象
十进制与N进制
十进制是运算的基础，理解了十进制才能更好的去做各种的运算。关于十进制这里不多说了，前面一篇文章–教儿子减法，个位不够要向十位借，儿子答“十位不肯借怎么办”，该如何回答？已经讲过，感兴趣的可以去看看。
弄懂位值原理很重要
利用十进制的位值原理做做题看
理解十进制了，那么就可以引入其他进制，从最简单的二进制入手，然后到任意进制，最后是关于十进制跟N进制之间的转换。值得表扬的是，他用了两种不同的方法来完成。
1316的七进制转化为十进制的两种方法
我一直很重视孩子是否理解背后的原理，而不是说要求他知道了这个知识点即可，就像最开始他是知道一个数各个位数相加之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。但在我看来，仅是知道这个结论是远远不够的，怎么推导出来的，更重要。在他学了位值原理后，我开始引导他去找出答案。
我：一个三位数abc用位值原理怎么表示？
珩：a×100+b×10+c。
我：很好，那100是不是可以表示成99+1？想想这个式子还能表示成什么？
（引导他想起乘法分配率）
珩：a×（99+1）+b×(9+1)+c。
我：非常的棒！现在试下把它求出来。
珩：等于99a+a+9b+b+c吗？
我：对的，我们把它们的位置移动一下，变成（99a+9b）+(a+b+c),你看前面挂号的能不能被9整除？
珩：能！因为他们都是9的倍数！
我：那后面的括号呢？
珩：我不知道。。。
我：如果后面的a+b+c加起来能被9整除呢？比如是9、18、27…
珩：那这个数abc就一定能被9整除是吗？
我：对了，这就是利用位值原理去分析的，所以你不能只记住结论，还要知道原理，这样以后就不会忘记了！
初等数论
之前在一些数学群友的建议下，让珩珩开始接触初等数论，刚好他本身就对数论特别感兴趣，所以学这个也是顺其自然的事了，而首先就是学关于整除的特性。
欧几里得算法，又名辗转相除法
前面有一篇文章讲过裴蜀定理–只有一个5升和一个3升的杯子，怎样可以得到一杯4升的水？，非常有趣的数学定理，大概是我孤陋寡闻了，但是不得不说更多时候儿子才是我的数学老师。
用裴蜀定理解决倒水问题
关于取整的求值范围？
关于初等数论还有很多东西要学，就慢慢入门吧。
方程与方程组
珩珩四岁多的时候已经会简单的一元一次方程，二元一次方程由于增加了一个未知数，先用图形来代替，逐渐引入消元法的概念吧。
等熟悉了，就可以开始用x、y来代替未知数了。
原来做鸡兔同笼是用这样的方法，先用小学生的思维。
学会二元一次方程后，尝试通过用列方程的方法做鸡兔同笼的题目
学会设未知数，是很关键的一步
之前因为也研究过平方和平方差这些，正好可以把知识点关联
二元一次不定方程的暴力枚举？
他似乎不满足于一元二元的方程，于是向更高次元发起进攻。
三元一次不定方程
四元一次不定方程，学会了倍数分析法
几何与图形
关于立方体展开图，买了磁力片给他去做研究，拆开和合并成一个正方体，并且找出相对面的数字。
教他如何利用辅助线找出圆的圆心。其实这里涉及到的知识点还蛮多的，半径、直径、相交、中点、垂直等，当然也包括如何能徒手能画出一个接近圆的圆。
通过几何图形去理解分数乘法的意义
关于平方的相关公式推导，我引导珩珩利用几何意义来完成，这其实又是对于知识点的另一种思路和理解方法。
利用几何的意义探索平方差公式，好处在于不需要对公式进行死记硬背
经典题目
平时他还喜欢去做一些经典题目，比如小学奥数里的牛吃草问题，一开始我其实也不知道怎么做的，反而是他当小老师教会了我。
还有大名鼎鼎的欧拉遗产分配问题（我居然没听过。。。）有朋友提议他可以用代数的形式去解答，不过我觉得孩子目前探索阶段，不急，先按照他能理解的思路去做，慢慢鼓励他尝试用不同的方法去解答。
兴趣是最好的老师
我码字的时候，正好是儿子五岁九个月，而上面这些东西，是他去年八月底开始，花了五个月左右的时间去学的。当然，他学的并不止上面那些，但为了系统整理，就不一一罗列了。其实我在整理的时候也觉得很不可思议，一个五岁多的孩子怎么能做到学会这么多跟他年龄不相符的数学知识？
首先是他对数学有着无比的热情，凭的就是强大的自驱力。每天早上起来到出门上学前十来分钟的时间，他都是用来学数学，做数学，直到我催他得换鞋子了出门了，他才依依不舍的跟他的数学告别。
平时周一到周五下午一放学回来都是做同一件事，那就是重新投入到数学世界的怀抱里，唯一不同的是以前是抱着液晶小黑板，现在是坐在白板前。为了保证他足够的室外活动时间，一般双休我都会带他出去玩，但是晚上一回到家，他还是赶紧研究数学去。
下面看看他对数学有多狂热。。。
坐地铁的时候做数学
放学了在路边做数学
公司聚餐的时候带上他，也不忘在做数学。。。
很多家长问我，这孩子怎么学的，出去上课吗？我说没有，主要就是两个途径，我教他，他自学。我觉得前期自己的引导作用还挺大的，倒是到了后期，其实更多都是靠孩子了，有些知识点甚至我还得向他请教
怎么个自学法，难道自己看书？那倒没有，他目前阅读能力还没这么超常，我会找一些数学相关的视频给他看，有时候凭着某个关键字词去搜索，搜出来一堆的视频，他会一个个的看，然后刷选出他觉得有意思的那些反复看，不知不觉就去把某些知识点给学了，有时候甚至我都不知道原来他学会了这些东西，还得反过来让他教教我。
平时他学了某个知识点，喜欢给自己出题，我也会给他出题，有时候我就假装不会做，说，小老师你来教教我吧。当他给我讲完课，赶紧来个彩虹屁，哇，你好厉害啊！他讲解的过程，我尽量不打扰，但对于还有疏漏的地方，我会等他讲会通过提问的地方去给他提意见。
还有很重要的一点，我刚开始其实也没做好，比如发现他某个地方卡住了，我会告诉他。其实这是不对的，应该要让他自己养成自主思考的习惯，作为家长，想办法引导提示即可，但是不应该去代替他。包括发现他做错的地方，先鼓励他多去检查验算，一下子解决不来的难点，跟他一起去探索，去看看哪些地方思路没理清楚，还是说某些知识点理解错误了。
有的家长建议我让孩子去学小奥，走奥数的路线，目前我对这个还是保持中立态度。现在孩子尚小，其实我还不是很想他过早进入外面的机构，去接受一些套路化的东西，很多时候看到他在那怡然自得的探索，我觉得就让他保持这么一颗热爱数学的心，把数学当成他的人生乐趣，就挺好的啊。
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我是珩珩妈，家有超爱数学的小男孩珩珩一枚。
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